OpenAI tvrdí, že AI vyriešila problém Navierových-Stokesových rovníc. Matematici si s ním nevedeli rady takmer 90 rokov

Existujú matematické problémy, ktoré odolávajú riešeniu celé desaťročia. Jedným z najznámejších sú Navierove-Stokesove rovnice, ktoré matematici skúmajú už približne 90 rokov. Teraz do tejto oblasti vstúpila umelá inteligencia a podľa OpenAI priniesla výsledok, ktorý môže patriť medzi významné matematické úspechy.

Spoločnosť oznámila, že jej interný AI systém vytvoril analytický dôkaz riešenia problému existencie a hladkosti Navierových-Stokesových rovníc. Následne vznikol aj formálny dôkaz v systéme Lean, ktorý má umožniť presnejšie overenie jednotlivých matematických krokov.

OpenAI však zároveň upozorňuje, že si za tento výsledok nenárokuje miliónovú cenu. Ide o výsledok vlastného výskumu a spoločnosť ho prezentuje predovšetkým ako ukážku toho, kam sa schopnosti AI pri matematickom uvažovaní posunuli.

Problém sa týka vody, vzduchu aj krvi

Navierove-Stokesove rovnice na prvý pohľad neznejú ako niečo, čo by malo zásadne meniť svet počítačov. V skutočnosti však opisujú pohyb tekutín a plynov, a preto majú široké využitie. Pomáhajú napríklad pri návrhu lietadiel, predpovedaní počasia či modelovaní prúdenia krvi v ľudskom tele. Tieto rovnice opisujú, ako sa tekutina pohne, zrýchli, spomalí alebo zmení smer. Pri výpočtoch pritom vedci nepočítajú každú jednotlivú molekulu vody, ale tekutinu považujú za spojité prostredie.

Vedci už dávno vedia, že riešenia Navierových-Stokesových rovníc za určitých podmienok existujú. Stále však nedokázali všeobecne dokázať, že pri trojrozmernej nestlačiteľnej tekutine zostanú tieto riešenia vždy hladké.

Súvisí s tým

OpenAI tvrdí, že jej AI vyriešila tri veľké vedecké problémy. Jednu z uznávaných hypotéz mala dokonca vyvrátiť

Otázka však znela, či sa môže dokonale hladký pohyb tekutiny v určitom okamihu matematicky „pokaziť“ a vytvoriť singularitu.

Singularita v tomto prípade neznamená dieru vo vode ani fyzickú poruchu tekutiny. Ide o matematický stav, pri ktorom by rýchlosť prúdenia v určitom bode dokázala v konečnom čase narásť bez obmedzenia. To znie zvláštne, pretože skutočná tekutina sa pochopiteľne nemôže začať pohybovať nekonečnou rýchlosťou. Problém preto spočíva v samotnom matematickom modeli. Ak by rovnice dovolili vznik takéhoto stavu, vznikla by otázka, či ich spojitý opis tekutiny dokáže ďalej správne fungovať.

„Základná otázka spočíva v tom, či môže trojrozmerná nestlačiteľná tekutina s konštantnou hustotou vytvoriť singularitu, aj keď svoj pohyb začne úplne hladko,“ vysvetľuje OpenAI.

Navierove-Stokesove rovnice vznikli na základe práce Clauda-Louisa Naviera a Georgea Gabriela Stokesa v 19. storočí. V roku 1934 Jean Leray dokázal existenciu riešení v zovšeobecnenom zmysle, no otázka ich hladkosti zostala otvorená. V roku 2000 sa problém dostal medzi sedem Millennium Prize Problems, ktoré vybral Clay Mathematics Institute. Za vyriešenie každého z nich je vypísaná odmena jeden milión dolárov.

AI prišla so zvláštnym vírom

Podľa OpenAI interný systém vytvoril dôkaz, v ktorom sa singularita objaví v konečnom čase. Začiatok pritom tvorí hladká tekutina v pokoji a pôsobí na ňu hladká vonkajšia sila. Kľúčovú úlohu zohráva vír, ktorý sa postupne stáča smerom dovnútra a zároveň sa predlžuje podobne ako kúsok špagety. Jeho centrálna časť sa zmenšuje a rýchlosť prúdenia v nej rastie. Celková energia však podľa riešenia zostáva konečná. Práve toto predstavovalo jednu z najťažších častí dôkazu. Nestačilo jednoducho vložiť do rovníc nekonečne veľkú silu a vyvolať tak nekonečnú rýchlosť. Singularita mala vzniknúť samotnou dynamikou tekutiny.

„Technickou výzvou bolo dosiahnuť rozpad riešenia prostredníctvom samotného pohybu tekutiny, a nie napríklad vložením nekonečnej sily,“ uvádza OpenAI.

Matematické členy opisujúce zrýchlenie, tlak, prenos hybnosti a viskozitu pritom musia narásť do veľmi veľkých hodnôt, no zároveň sa presne vyrušiť tak, aby výsledný stav spĺňal požadované podmienky.

OpenAI nepostavilo riešenie iba na jednom chatbotovom rozhovore. Spoločnosť vytvorila systém veľkého počtu spolupracujúcich AI agentov. Pri práci na Navierových-Stokesových rovniciach ich počet dosiahol približne 10 000 súčasne pracujúcich agentov. Jednotlivé skupiny dostali rôzne verzie problému a hľadali odlišné cesty k riešeniu.

AI zároveň dostala prístup k nástrojom na spúšťanie kódu a práci s informáciami.

Zaujímavý výsledok prišiel ešte pred samotným riešením Navierových-Stokesových rovníc. Takmer 100 agentov približne 50 hodín pracovalo na príbuznom probléme týkajúcom sa Eulerových rovníc, v ktorých chýba člen opisujúci viskozitu. Aj tento problém podľa OpenAI vyriešili v konkrétnej variante. Následne spoločnosť presunula viac zdrojov na Navierove-Stokesove rovnice.

Celá výpočtová práca mala obrovský rozsah. Pri všetkých skúmaných matematických problémoch AI agenti odoslali približne 4,9 milióna správ a vytvorili okolo 300 miliárd výstupných tokenov. Samotné Navierove-Stokesove rovnice si vyžiadali približne 2,7 milióna správ a 130 miliárd tokenov.

Dôkaz následne prepísali do Lean

Samotné tvrdenie AI však ešte automaticky neznamená, že matematická komunita problém prijala ako vyriešený. OpenAI preto vytvorilo aj formálnu verifikáciu v jazyku Lean. Ide o systém, ktorý umožňuje matematické tvrdenia zapísať tak, aby ich mohol formálne skontrolovať počítač.

Podľa spoločnosti samotné AI vytvorilo riešenie 5. septembra. Formálne spracovanie a kontrola prostredníctvom Lean následne zabrali ďalších približne 17 hodín. OpenAI zároveň zdôrazňuje, že výsledok nechce prezentovať ako definitívne prevzatie Millennium Prize. Spoločnosť ho označuje za významný moment vo vývoji svojich modelov a za ukážku možností AI pri riešení náročných matematických úloh.

„Tento výsledok nepredstavuje zavŕšenie, ale skôr snímku pokroku v určitom okamihu vývoja AI,“ uvádza OpenAI.

Či dôkaz napokon prijme aj širšia matematická komunita a či splní všetky požiadavky spojené s oficiálnym riešením Millennium Prize problému, zostáva samostatnou otázkou. Samotná schopnosť AI vytvoriť takto komplexný matematický argument však predstavuje pozoruhodný posun v oblasti, v ktorej ešte donedávna dominovali výhradne ľudskí matematici.