Matematikovi sa podarilo nájsť riešenie zdanlivo neriešiteľného problému: Ide o jeden z najstarších problémov algebry!
Matematik dokázal vyriešiť jeden z najstarších problémov algebry, problém polynómov piateho a vyššieho stupňa.
Matematik z univerzity USNW objavil novú metódu, ktorá mu pomohla vyriešiť jeden z najväčších problémov algebry, polynomické rovnice vyššieho stupňa.
Polynomické rovnice vyššieho stupňa sú typom algebraických rovníc. Predtým, ako sa na ne pozrieme bližšie, je dôležité pochopiť, čo je to polynóm. Polynóm (alebo mnohočlen) je matematický výraz, ktorý sa skladá z premenných (najčastejšie označovaných ako x), koeficientov (čo sú zvyčajne reálne alebo komplexné čísla) a operácií sčítania, odčítania a násobenia, pričom premenné sú umocnené na nezáporné celé čísla. Najvyššia mocnina premennej v polynóme sa nazýva stupeň polynómu.
Príkladom takejto rovnice môže byť napríklad 1+4x-3×2=0. Polynomické rovnice tvoria základ matematiky, no svoje uplatnenie nachádzajú aj vo vedných odboroch. Používajú sa napríklad na popísanie pohybu planét alebo pri písaní počítačového programu. Ako ale vysvetľuje autor nového výskumu, metóda pre riešenie rovnice, kde X je polynómom piateho alebo vyššieho stupňa, sa až doteraz považovala za neznámu.
Ako na to prišiel?
Riešenia rovníc s polynómom druhého stupňa sú známe už od roku 1800 pred našim letopočtom, a to vďaka Babylončanom. Ich riešenie tohto problému sa vyvinulo do kvadratických rovníc, ktoré sa učia na školách dodnes. Rovnice s polynómom štvrtého stupňa sme sa naučili vyriešiť v 16. Storočí.
Prelom prišiel v roku 1832. Francúzky matematik Évariste Galois ukázal, že matematické symetrie pre riešenie menších polynómov sú nepoužiteľné pri rovniciach s polynómom piateho a vyššieho stupňa. Galois predpokaldal, že neexistuje všeobecná formula, ktorá by ich dokázala vyriešiť.
Neprehliadni
Približné riešenia týchto problémov už existujú, no ako hovorí autori výskumu, hoci majú praktické aplikácie, nemôžeme ich považovať za “čistú algebru”. Problém sa podľa neho ukrýva v tom, že klasické formuly využívajú tretiu a štvrtú odmocninu, čo sú radikály. Tieto radikály všeobecne reprezentujú iracionálne čísla, ktoré nemožno zapísať ako jednoduché zlomky, pretože ide o desatinné čísla, ktoré sa opakujú donekonečna.
“V praxi to znamená, že skutočnú odpoveď nemožno úplne vypočítať, pretože by sme potrebovali nekonečnú prácu a harddisk väčší ako celý vesmír. Keď vezmeme tretiu odmocninu siedmich vo vzorci, predpokladáme, že toto nekonečné desatinné číslo je nejakým spôsobom úplný objekt. Preto neverím v iracionálne čísla,” hovorí profesor Norman Wildberger, autor štúdie.
Iracionálne čísla sa podľa jeho slov spoliehajú na nepresný koncept nekonečna a preto vedú k logickým problémom v matematike. Wildberger je práve kvôli svojmu odmietaniu iracionálnych čísel autorom racionálnej trigonometrie a univerzálnej hyperbolickej geometrie. Ide o veľké úspechy v oblasti matematiky.
Wildbergerova nová metóda na riešenie polynómov sa zároveň vyhýba radikálom a iracionálnym číslam. Namiesto toho sa zakladá na špeciálnych “rozšíreniach” polynómov, ktoré nazýva “mocninové rady”.
Riešenie neriešiteľného problému
S použitím tohto postupu dokázal Wildberger získať približné číselné hodnoty pre polynómy piateho a vyššieho stupňa. Postup otestoval matematik na slávnej rovnici, ktorá bola vytvorená v 17. storočí.
“Moja metóda používa nové sekvencie čísel, ktoré reprezentujú komplexné geometrické vzťahy. Tieto sekvencie patria do kombinatoriky, teda odvetvia matematiky, ktoré sa zaoberá číselnými vzorcami v sade prvkov,” hovorí Wildberger.
Najslávnejší príklad z kombinatoriky sú takzvané “katalánske čísla”. Ide o spôsob, ktorý opisuje počet spôsobov, ktorými môžeš rozdeliť polygón na trojuholníky. Katalánske čísla sú veľmi dôležité v oblasti počítačových algoritmov a dokonca sa objavujú aj v biológii.
Wildberger hovorí, že jeho práca je viac ako teoretickou zaujímavosťou. Získané poznatky môžeme využiť na vytváranie lepších programov, ktoré dokážu vyriešiť rovnice pomocou algebrických sérii namiesto radikálov. Otázkou teda ostáva, ako Wildberger dokáže svoje zistenia pretaviť do praktických výsledkov. Hovorí ale, že jeho práca je ešte len na začiatku.
Komentáre